题解：P11996 我是黄色恐龙大将军

P11996 我是黄色恐龙大将军 题解

题目重述

对于正整数 $n$，定义：

• $a_n$ 为 $2^n$ 在十进制下的最高非零位数字
• $b_n$ 为 $5^n$ 在十进制下的最高非零位数字

求所有可能的 $a_n \times b_n$ 的值的和（相同值仅计算一次）。

解题思路

关键步骤

1. 观察模式
   计算前若干项的 $a_n \times b_n$，发现结果在 $\{5,6,7,8,9,10\}$ 之间循环：

   $n$	$a_n$	$b_n$	$a_n \times b_n$
   1	2	5	10
   2	4	2	8
   3	8	1	8
   4	1	6	6
   5	3	3	9
   …	…	…	…

2. 验证周期性
   继续计算 $n=6$ 至 $n=10$ 的乘积，结果仍为上述值，无新值出现：

   • $n=6$: $6 \times 1 = 6$
   • $n=7$: $1 \times 7 = 7$
   • $n=8$: $2 \times 3 = 6$
   • $n=9$: $5 \times 2 = 10$
   • $n=10$: $1 \times 9 = 9$

结论

所有不同的 $a_n \times b_n$ 值为 $\{5,6,7,8,9,10\}$，其和为：

$$5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = {45}$$